什么是六度分隔理论
作者：EricCRC 原文地址：http://www.xiaozihang.com/?action=show&id=35，转载请保留
最近碰到了一件有意思的事情，我的一位初中同学，她现在的好友，和我的高中同学认识。
我们总是惊叹于世界是如此的渺小，总是发现你和刚认识的另外一个人有共同的朋友……不禁问：世界到底有多大？我们和世界上其他人距离有多远？答案是——6。
这是一个有意思的答案。它是不是像生命、宇宙和万物的终极问题的答案是42一样的性质？还是一个正儿八经的科学结论？这个结论可信吗？
本文将向你介绍什么是六度分隔理论，它的背景、意义和研究现状。
社会学家们总是希望他们的研究不仅是基于实验和经验性认识的，还渴望那些结论能够和公认的真理——数学有所联系。今天，我们来讲述一个最常见的社会现象，和最现代化的数学理论结合的例子。
千百年来，有无数这样的偶遇和巧合：我们和一个陌生人成为了朋友，聊着聊着，却发现原来你们认识同一个人，或者你认识一个人和他认识的一个人是好朋友，于是你们马上会觉得对方更加亲切，然后同时感叹：世界是如此的渺小。
在人们发出了无数次这样的感叹之后，终于有人不再满足于这么问一下，而是要去算一算，地球到底有多么小。
1967年，哈佛大学心理学教授Stanley Milgram做了一些这样的实验：比如志愿者Alice，她是哈佛大学社会学系学生，实验要求她去联系一个从来没有听说过的，远在奥地利的某一家冰淇淋店老板，Bob。Alice可以采用的方法是从她的朋友中找到一个她认为最有可能联系上Bob的人，比如德国的社会学教授Carl，然后写信给Carl，让他继续这个过程。于是Carl也从他的朋友圈里找一个尽可能和Bob有关系的人，写信过去……
Milgram做了很多次（到底有多少次，后面说，呵呵）这样的实验，得到一个假设：你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过六个人你就能够认识任何一个陌生人。这个假设就被称为六度分隔理论。
于是你想：“哇塞~~太好了，我那么喜欢好莱坞帅哥尼古拉斯·凯奇，那我是不是可以通过几封信就能联系上他呢？”很抱歉，这个问题我无法回答，也许你可以去试一试，如果是我，第一步写信给我在耶鲁大学读书的同学，也许她会把信转给一个爱好摄影的同学，然后那个同学转给一个音像师，那个音像师再转给好莱坞的一位导演，然后就联系上尼古拉斯·凯奇了。为什么没有这个可能呢？
你会说，哈哈，我不相信就有这么巧的事情。你只是做了一点实验而已，你就能保证结论一定是正确的？事实上，确实值得怀疑，Milgram做了一百多次实验，只有十来次成功了的，也就是成功的联系上了指定的人，其中最快的用了3次中转，他统计出平均数是6，然后就急忙把结论发表了出来。
我们的心理学家也在头疼这些质疑，所以在本文一开始我们就说，他们总想让自己的研究工作和数学或多或少扯上一点关系，这样才能得到大多数人的认同——或者是唬住大多数不懂数学的人？呵呵。
最近几年，又出现了大量和这个问题类似的例子。为什么蠕虫病毒在互联网上传播得那么快，二十四小时能感染几千万台主机？为什么SARS病毒很难遏制住传播，总是逃开人们的封锁扩散开？
在数学家的眼里，这一类问题都从它的实际意义中抽象了出来，形成了一个叫小世界模型的东西，它是图论的一个新兴分支学科复杂网络理论中的一个课题。
图论，就是点和线之间拓扑关系的学科，起源于欧拉解决的七桥问题。它是具有高度抽象性的，比如可以用点表示人，而两个点之间有连线，表示这两个人是朋友；或者点表示互联网上的主机，连线表示它们之间存在物理链路。
当图论中的点和线数量变得非常巨大，比如六十亿，这是人类的数量；比如2的48次，这是IPv6网络理论上的主机数量，这个时候我们就无法用传统的图论方法来研究这个图了——你连这个图本身都无法确定。我们只能够通过统计的方法来研究这个图的性质。这就是复杂网络理论。
那么你说，一个都无法确定的东西，数学家是怎么样来研究的呢？事实上，数学家根据一些来源于实际需要的假设，建立合适的模型，在这个模型下进行研究工作。比如人们认识的大部分人都是周围的人，比如你的邻居，你的同学，他们大多在一个城市这样的小范围。但你也会认识少数的离你很远的人，比如你和远在悉尼的一位经济学家都喜欢羽叶茑萝，于是你们成了好朋友。所以数学家们建立这样一个模型，有大量的节点，每个节点对于它们附近的点，比如有1%的概率有连线，而对于所有的节点，比如都有万分之一的概率有连线。这种随机图就是现实世界人际关系的一个很粗糙的模型。进一步的合理化以后，就是小世界模型了。
对小世界模型的研究已经取得一些进展，其中之一就是六度分隔理论中的6，是一个比较好的估计值。就是说6确实是比较平均的一个数。
有意思的是，就在数学家们中间，就存在一个最好的六度分隔理论的例子。匈牙利伟大的数学家Paul Erdös一生喜好和别人合作，和他合作发表过论文的数学家达到1500人之多，实属罕见。由于Erdös对整个数学届和每一位数学家有很大影响，所以大家喜欢这样一个游戏，就是计算自己的Erdös数。如果你和Erdös直接合作写过论文，那么你的Erdös数是1。如果你没有和他合作写过论文，但是你曾经合作过的一个伙伴，他的Erdös数是1，那么你就有Erdos数2。以此类推。（笔者不才，至今Erdös数还是正无穷，考虑到每一个在世的数学家都有他们的Erdös数，所以笔者还不算数学家:-P）最近出现了一个网站，叫The Erdös Number Project，它根据全世界的期刊论文数据库来统计数学家的Erdös数，统计结果显示：有超过80%的数学家，Erdös数为3、4、5，其中3最多，占50%多。也就是说，任何两个数学家之间以Erdös为纽带，他们之间合作的“跳数”最有可能是3+3=6，正好是我们的结论。
无独有偶，哥伦比亚大学的Duncan J. Watts 教授建立了一个电影数据库，分析每一个演员和Kevin Bacon之间的关系，得到的平均值是2.918，而且没有一个的中间跳数是超过10的。注意到这里2.918的两倍近似的为6，我们将再一次感到不可思议。
最近的消息是，哥伦比亚大学一些对这个感兴趣的学者们，发起了一个“小世界研究计划”，他们在继续Milgram的实验，不过他们用Email取代了传统的信件，将整个实验放在网上进行。如果你对这个感兴趣，可以去报名做他们的志愿者。不过他们的目标是指定好了的，也就是说你不能够自己选一个漂亮女影星作为最终目标。另外，如果有一天有一封朋友的邮件过来，要你帮忙发给某某你根本没听说过的人，不要觉得惊奇哦~
不论如何，我们基本上已经认同了六度分隔理论的正确性，并且将它实际运用起来。很多商务人际交往网站，比如天际网，都以这个理论作为网站的基本立足点，它们认为，你应该尽可能多的扩展自己的一度和二度好友，这样，你的职业生涯将变得更加便利。
如果你对六度分隔理论很感兴趣，想做进一步阅读，我们建议你看一看Duncan J. Watts的科普作品Six Degrees: The Science of a Connected Age ，该书现在已经有中译本《六度：互联时代的科学》。
如果你觉得自己数学基础比较好，希望了解一些关于复杂网络理论的研究情况，可以参看上海交通大学汪小帆等编著的《复杂网络理论及其应用》，清华大学出版社，2006.4。这本书的特点是在数学理论的背景下，介绍了大量复杂网络方面的题材，并且给出了相关研究需要的参考文献。另外，行文幽默，跳过数学部分，可以当一本小说看。有概率论和统计学基础的读者会看的更加过瘾。
另外，Duncan J. Watts的另一部半科普性质的作品Small Worlds : The Dynamics of Networks between Order and Randomness也即将由中国人民出版社翻译出版，中文名就定为《小世界》，值得期待。
附录：关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案
如果你在Google中搜索“What is the answer to life, the universe and everything?”，你会发现Google的计算器毫不犹豫的回答你：the answer to life, the universe and everything = 42。Google计算机这么强大？不，这个答案可是用尽了有史以来最强大的计算机几百年的运算得到的结果，那台计算机是由众所周知的全宇宙最聪明的生命老鼠制造的，很可惜它还没有来得及解释这个答案就崩溃了。于是那些老鼠们为了得到解释定制了地球……
详细情况，请参考道格拉斯·亚当斯的伟大著作《银河系漫游指南》，这个指南已经改编为电影，看的时候不要忘了带上你的毛巾。
